Физика и математика зеркальной симметрии

Ослабление жесткой и однозначной эйнштейновской взаимосвязи между геометрией пространства и наблюдаемыми физическими явлениями есть яркий пример новизны теории струн. Однако развитие теории струн далеко не исчерпывается изменением философской концепции. Зеркальная симметрия, в частности, дает мощное средство для исследования как физических аспектов теории струн, так и математических аспектов теории пространств Калаби-Яу.

Математики, работающие в области так называемой алгебраической геометрии, изучали пространства Калаби-Яу из чисто математического интереса задолго до открытия теории струн. Они обнаружили множество свойств этих геометрических пространств, никоим образом не предполагая, что их результаты будут когда-нибудь использоваться физиками. Однако определенные черты теории пространств Калаби-Яу оказались слишком сложными для всестороннего математического исследования. Открытие зеркальной симметрии существенно изменило положение дел. По существу, зеркальная симметрия говорит о том, что определенные пары пространств Калаби-Яу, которые ранее считались совершенно независимыми, тесно связаны теорией струн. Связь состоит в том, что если в качестве дополнительных свернутых измерений выбирать два пространства из любой пары, получатся физически эквивалентные вселенные. Такая неожиданная взаимосвязь дает мощный инструмент математических и физических исследований.

Представим, например, что вы хотите вычислить физические характеристики — массы и заряды, — соответствующие выбору одного из возможных пространств Калаби— Яу в качестве дополнительных измерений. При этом вас не особенно заботит степень согласования ваших результатов с экспериментом, так как в настоящее время, в силу ряда рассмотренных выше теоретических и технических причин, экспериментальное подтверждение результатов достаточно проблематично. Вместо этого проводится мысленный эксперимент, который должен показать, как выглядел бы мир, если бы было выбрано данное пространство Калаби-Яу. Сначала все идет хорошо, но в середине такого теоретического анализа возникает необходимость математического расчета непомерной сложности. Никто, ни один из лучших специалистов-математиков, не может подсказать, как поступать дальше. Двигаться некуда. И тут выясняется, что у этого пространства Калаби-Яу есть зеркальный партнер. Поскольку окончательные физические свойства будут одинаковы для каждого члена зеркальной пары, вычисления можно проводить для любого из этих пространств. Таким образом, можно перевести сложное вычисление для первого из пространств на язык его зеркального партнера, и результат вычислений, т. е. физические свойства, будут теми же. Сначала можно предположить, что измененный вариант вычисления будет таким же сложным, как первоначальный. Но возникает приятная и поразительная неожиданность. Обнаруживается, что вид вычисляемого выражения очень сильно отличается от исходного, и, в некоторых случаях, невообразимо сложное вычисление становится поразительно легким в зеркальном пространстве. Не существует простого объяснения, почему это происходит, но, по крайней мере для определенных вычислений, это действительно так, и уменьшение сложности расчетов оказывается впечатляющим. В результате препятствие на пути решения задачи становится преодолимым.

Ситуация схожа со случаем, когда требуется точно подсчитать число апельсинов, плотно набитых в огромный ящик, скажем, со сторонами 15 м и глубиной 3 м. Пересчитывать апельсины по одному крайне неблагодарное занятие. Но тут, к счастью, находится человек, который присутствовал в момент, когда завезли эти апельсины. Он сообщает, что апельсины были аккуратно упакованы в меньшие коробки, занимающие куб, по длине, ширине и глубине которого умещалось 20 коробок. Оценив, что число коробок равно 8 000, остается лишь вычислить, сколько апельсинов входит в одну коробку, и задача решена. В итоге, путем грамотного преобразования вычислений удается значительно упростить задачу. В теории струн ситуация с громоздкими вычислениями аналогична. Что касается пространств Калаби-Яу, вычисления могут состоять из очень большого числа этапов. Однако при переходе к расчетам для зеркального пространства вычисления можно гораздо более эффективно реорганизовать, так что выполнить их достаточно просто. Этот факт был отмечен Плессером и мной, а затем результативно использовался на практике в последующих работах Канделаса и его коллег Ксении де ла Осса и Линды Паркс из Техасского университета, а также Пола Грина из университета штата Мэриленд. Они показали, что вычисления невообразимой сложности могут быть проведены до конца с помощью идеи зеркальной пары, персонального компьютера и пары листов алгебраических выкладок.

Перейти на страницу: 1 2 3

Copyright © 2010 - All Rights Reserved - www.physicinweb.ru