Красота как путеводная нить к истине

Эта глубокая связь между е^x и sin x полностью выявляется в теории комплексных чисел, где обычная система чисел обобщается и включает квадратные корни из отрицательных чисел. Оказывается, что когда x — квадратный корень из отрицательного числа, е^x становится смесью двух волн – синусоидальной и косинусоидальной. Теперь уже не приходится удивляться, что физические системы, поведение которых описывается экспонентой, способны проявлять и периодическое, “синусоидальное”, поведение. Примером такой системы может служить так называемый гармонический осциллятор, скажем, маятник или просто масса, прикрепленная к пружине. Если массу слегка отклонить от состояния равновесия, то она начнет колебаться взад-вперед в результате периодического воздействия пружины. Положение массы в зависимости от времени будет изменяться по синусоиде, изображенной на рис. 7. Такое движение массы определяется законом изменения силы натяжения пружины. Величина этой силы прямо пропорциональна смещению массы из положения равновесия, а направление таково, что она пытается вернуть массу в положение равновесия: если пружина растянута, то сила создает притяжение, если пружина сжата – отталкивание.

Предположим теперь, что сила, изменяющаяся по тому же закону, была бы направлена не к положению равновесия, а от него. Поведение системы в этом случае оказалось бы совершенно Другим. Отклонение массы от равновесия нарастало бы по экспоненте, масса разгонялась бы все быстрее в одном и том же направлении. С пружинами такое невозможно, а в других системах случается. Иногда система в одних условиях колеблется по синусоидальному закону, а в других срывается в экспоненциальный режим.

Умение находить с помощью математического анализа скрытые соотношения и симметрии, подобные, описанным выше, характеризует профессиональное мастерство физиков. Нередко более тонкие симметрии удается обнаружить, только коренным образом изменив математическое описание. Так произошло при переходе от птолемеевой космологии к ньютоновской механике, гораздо позднее – и с самой ньютоновской механикой.

В XIX в. законы Ньютона были математически полностью переформулированы французским физиком Жозефом Луи Лагранжем и ирландским физиком Уильямом Роуэном Гамильтоном. И тот и другой видоизменили математическое описание с тем, чтобы подчеркнуть простоту и изящество, заключенные в механике Ньютона. В работе Гамильтона, в частности, неожиданно оказался предвестник квантовой революции, которой предстояло опрокинуть всю классическую физику. Но до этого было еще далеко.

Основная проблема механики состоит в том, чтобы понять, описать и предсказать траектории (пути), по которым движутся материальные частицы под воздействием приложенных сил. Эти траектории, очевидно, имеют самый различный вид в зависимости от характера действующих сил. Задача о путях распространения в прозрачной среде световых лучей на первый взгляд кажется другой. Свет не подчиняется законам механики Ньютона, хотя хорошо известно, что при прохождении через среду с изменяющейся плотностью световые лучи искривляются. Например, нам кажется, что погруженная в пруд палка имеет излом в том месте, где входит в воду. Дело в том, что световые волны замедляются в плотных средах, и вторичные волны, исходящие из различных точек волнового фронта, встречая на своем пути участки среды с различной плотностью, образно говоря, “сбиваются с шага”: одни идут медленнее, другие быстрее. В большинстве случаев световой луч в конечном счете распространяется по пути, на котором от точки к точке затрачивается наименьшее время. Таким образом, поведение светового луча можно понять на основе теории волн, которые распространяются со скоростью, изменяющейся в зависимости от свойств среды, через которую они проходят.

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Copyright © 2010 - All Rights Reserved - www.physicinweb.ru