Physicinweb

Я говорю об издании романа «Война и мир» в серии «Библиотека современной классики» (Modern Library Classics) в переводе на английский Констанции Гарнетт, содержащем 1386 страниц текста.

Для склонного к математике читателя следует заметить, что поскольку числа могут стать столь велики, то энтропия на самом деле определяется как логарифм числа возможных перестановок — но эта деталь не имеет отношения к рассматриваемой проблеме. Однако, с принципиальной точки зрения, это важно, поскольку очень удобно, что энтропия является так называемой аддитивной величиной. Это означает, что если вы объедините две системы вместе, энтропия их совокупности есть сумма их индивидуальных энтропий. Это остаётся правильным только для энтропии в форме логарифма, так как число перестановок в этом случае задаётся произведением индивидуального числа перестановок подсистем, так что логарифм числа перестановок является аддитивной величиной.

Поскольку мы можем, в принципе, предсказать, где приземлится каждая страница, вы можете подумать, что имеется дополнительный элемент, который определяет расположение страниц: как вы будете собирать страницы вместе в аккуратную пачку. Это не имеет отношения к обсуждаемой физике, но в случае, если вас это беспокоит, представьте, что вы договорились подбирать страницы одну за одной, начиная с той, которая к вам ближе всего, затем подберёте ближайшую за этой страницу и т. д. (И, например, для определения ближайшей страницы вы можете договориться измерять расстояние до ближайшего угла страницы.)

Надежда преуспеть в расчёте движения даже нескольких страниц с точностью, требуемой для предсказания их порядка (с учётом применения некоторого алгоритма складывания в пачку, как в предыдущем примечании), на самом деле экстремально оптимистична. В зависимости от гибкости и веса бумаги такой сравнительно «простой» расчёт может оказаться за пределами сегодняшних вычислительных возможностей.

Энтропия — это ещё один пример, в котором терминология усложняет идеи. Не расстраивайтесь, если вам опять пришлось напомнить себе, что низкая энтропия означает высокий порядок, а высокая энтропия означает низкий порядок (эквивалентный высокому беспорядоку). Мне часто приходилось так делать.

Вас может смутить фундаментальное отличие в определениях понятия энтропии для расположения страниц и для коллективов молекул. Расположения страниц дискретны — вы можете пересчитать их одно за другим, так что, хотя полное число возможностей может быть большим, оно конечно. В противоположность этому, движение и положение даже отдельной молекулы непрерывно — вы не можете пересчитать их одно за другим, так что тут (по крайней мере, в соответствии с классической физикой) имеется бесконечное число возможностей. Как же можно провести точный счёт перестановок молекул? Короткий ответ состоит в том, что это хороший вопрос, но один из тех, на которые найдены полные ответы, — поэтому, если этого достаточно, чтобы успокоить вашу тревогу, свободно пропускайте следующий текст. Более длинный ответ требует немного математики, так что без определённых знаний его, наверное, будет трудно понять. Физики описывают классическую многочастичную систему, привлекая фазовое 6N -мерное пространство (где N есть число частиц), в котором каждая точка обозначает все положения и скорости всех частиц (для каждой частицы требуется три числа для положения и три для скорости, в итоге получаем 6N -мерное фазовое пространство). Существенный момент состоит в том, что фазовое пространство может быть разбито на такие области, что все точки данной области соответствуют конфигурациям скоростей и координат молекул, которые дают одинаковые макроскопические свойства всей системы. Если конфигурация молекул изменилась от одной точки в данной области фазового пространства к другой точке той же области, макроскопические свойства системы не изменятся. Теперь, вместо того чтобы пересчитывать число точек в данной области, — самая прямая аналогия подсчёта числа различных перестановок страниц, но которая, несомненно, привела бы к бесконечному результату, — физики определяют энтропию в терминах объёма каждой области в фазовом пространстве. Больший объём означает больше точек, а потому большую энтропию. А объём области, даже области в многомерном пространстве, есть нечто, чему можно дать строгое математическое определение. (С математической точки зрения необходимо выбрать нечто, именуемое мерой, и для склонного к математике читателя я замечу, что мы обычно выбираем меру, которая однородна по всем микросостояниям, совместимым с данным макросостоянием, — т. е. каждая микроскопическая конфигурация, связанная с данным набором макроскопических свойств, предполагается равновероятной.)